Факторингу: Что такое факторинг и как оформить. Получаем оплату по договору благодаря факторингу

Содержание

Зачем малому бизнесу сейчас нужен факторинг

Пандемия изменила рынок факторинга. Если раньше для малого и среднего бизнеса факторинг (обмен будущей выручки поставщика, поставившего товар на условиях отсрочки или рассрочки платежей, на деньги) был возможен только при работе с крупными федеральными сетями, то сейчас с его помощью поставщики могут взаимодействовать с любыми сетями, интернет-магазинами и другими предприятиями. В пандемию наиболее высокие темпы роста на рынке факторинга показали производители продуктов питания, товаров первой необходимости, лекарств, медтехники и средств защиты.

Кому сегодня может быть полезен факторинг и почему есть смысл его использовать? Если ваши покупатели – торговые сети, интернет-магазины, крупные заводы, предприятия со стабильным оборотом, которые используют отсрочку, и вы поставляете им товар регулярно, можно смело использовать факторинг. Он поможет поддерживать оборотный капитал и не прибегать к классическим кредитам.

Известно, что факторинг помогает поставщикам крупных сетей решить проблемы отсрочек платежей. Но в кризис многие магазины были вынуждены закрыться, и актуальность онлайн-торговли стало трудно переоценить. В первом полугодии 2020 г. доля онлайн-покупок в рознице выросла с 6 почти до 11% (по данным Ассоциации компаний интернет-торговли). По разным оценкам, до конца года доля онлайна в российской розничной торговле возрастет на 22%.

Однако малому бизнесу сложно самостоятельно пробиться к конечному потребителю, поэтому он сотрудничает с крупными площадками, чтобы получить готовую инфраструктуру и каналы продаж. Крупные интернет-магазины (Ozon, Wildberries, Goods, Beru и др.) диктуют свои правила ценообразования и оплаты, ставя поставщиков перед выбором: либо увеличение отсрочек платежей, либо сокращение поставок. Эту проблему может решить факторинг: поставив товар, поставщик не ждал бы два месяца, пока покупатель его оплатит, а получил бы от фактора деньги, на которые можно закупать новый товар или развивать бизнес.

Однако многие маркетплейсы не покупают товар у поставщиков, а оказывают в основном информационное сопровождение, являясь, по сути, витриной. Товар хоть и находится на складе у маркетплейса, но право собственности на него не передается, а значит, не возникает дебиторской задолженности и, следовательно, оснований для факторинга. В этом случае поставщикам подойдет специальный кредитный продукт – целевой кредит, который позволит поставщикам финансировать работу с онлайн-платформами.

Сегодня подать заявку на финансирование можно онлайн, лично документы в банк привозить не требуется. Все общение между банком, клиентом и дебитором осуществляется посредством электронного документооборота, договор подписывается электронной цифровой подписью. Банк анализирует отчетность поставщика и дебитора, заключает с поставщиком договор факторинга и предлагает дебитору подписать уведомление о факторинге. После поставки товара компания посылает банку документы, подтверждающие отгрузку, и прямо в день поставки товара получает деньги – до 90% от стоимости отгрузки. Когда покупатель оплачивает товар, банк погашает задолженность по факторингу, проценты и возвращает поставщику оставшуюся сумму.

Следствием роста числа игроков на рынке факторинга и развития онлайн-технологий стало то, что количество факторинговых компаний или специализированных подразделений в банках значительно увеличилось. В итоге бизнес может существенно экономить. Например, если год назад в среднем ставки на факторинг составляли 15–16%, то сегодня они снизились до 11–12% годовых, а иногда и до 8–9% годовых. Еще из плюсов можно выделить бессрочный договор, к которому могут добавляться новые дебиторы, оперативное распределение лимитов среди дебиторов, отсутствие залога, так как права требования по оплате фактически передаются в залог.

Факторинг все активнее используется в госзакупках. Госкомпании и бюджетные организации должны размещать у подрядчиков из малого и среднего бизнеса не менее 15% заказов, срок расчета за выполненную поставку – 30 дней. Длительные отсрочки и долгая оплата по контракту всегда были головной болью для подрядчиков госкомпаний. Но бизнесу деньги нужны сразу – оплачивать счета, зарплату сотрудникам, закупать необходимые для производства материалы, наконец, участвовать в новых тендерах. Ускорить процесс получения средств также поможет факторинг: подрядчик по государственному или муниципальному контракту уступает банку или факторинговой компании денежное требование к заказчику, получая взамен деньги.

Факторинговую компанию или банк имеет смысл выбирать из числа хорошо зарекомендовавших себя на рынке участников, например членов Ассоциации факторинговых компаний, которая объединяет ведущих игроков рынка и следит за соблюдением своими участниками всех основных стандартов и требований.

Кроме того, обязательно обратите внимание на штрафные санкции, которые предусмотрены, например, в случае возврата товара по вине продавца и за просрочку оплаты долга дебитором – часто они бывают весьма существенными.

Частые вопросы о факторинге — FAQ Сбер Факторинга

В Сбербанк Факторинг вы можете оформить факторинг:

С ПРАВОМ РЕГРЕССА

Инициатор: поставщик;

Услуги Фактора: финансирование, услуги по администрированию платежей и управлению дебиторской задолженностью.

Риск: ответственность за неоплату покупателем поставленных товаров или оказанных услуг перед факторинговой компанией несет поставщик.

Отсрочка платежа: возможно предоставление дополнительной отсрочки платежа, сверх установленной в контракте.

БЕЗ ПРАВА РЕГРЕССА

Инициатор: поставщик;

Услуги Фактора: финансирование, услуги по администрированию платежей и управлению дебиторской задолженностью.

Риск: Фактор страхует риск неоплаты или несвоевременной оплаты покупателем поставленных товаров или оказанных услуг, самостоятельно занимается взысканием задолженности с покупателя, в случае ее возникновения, без предъявления платежных требований в адрес поставщика.

Отсрочка платежа: возможно предоставление дополнительной отсрочки платежа, сверх установленной в контракте.

РЕВЕРСИВНЫЙ ФАКТОРИНГ С ПРАВОМ РЕГРЕССА И БЕЗ ПРАВА РЕГРЕССА

Инициатор: покупатель;

Услуги Фактора: финансирование поставщиков, которых покупатель передает на факторинговое обслуживание, услуги по администрированию платежей и управлению дебиторской задолженностью.

Отсрочка платежа: возможно предоставление дополнительной отсрочки платежа, сверх установленной в контракте.

Реверсивный факторинг, в первую очередь, подходит для покупателей, имеющих большое количество поставщиков, и является выгодной альтернативой кредиту для оплаты товара. Позволяет увеличить объем закупок и расширить рынок сбыта.

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ФАКТОРИНГ

Международный факторинг представляет собой факторинговое обслуживание внешнеэкономических контрактов: поставщик и покупатель являются резидентами разных государств.

факторинговые услуги банка в Москве, условия и тарифы

Факторинг — это комплекс услуг для торговых и производственных предприятий, а так же компаний в сфере услуг, работающих на условиях отсрочки платежа, включающий в себя беззалоговое финансирование под уступку денежных требований, управление дебиторской задолженностью и информационное обслуживание.

Преимущества

  • Установление лимитов не только на федеральные сети, но и на дебиторов всех отраслей и сегментов

  • Финансирование в день предоставления электронных документов

  • Электронный документооборот (ЭДО)

  • Ежедневный профессиональный контроль СДМ-Банком состояния расчетов с дебиторами

  • Отслеживание факторинговых операций в режиме on-line через Личный кабинет

  • Договор факторинга заключается на неопределенный срок

  • Без ограничения по минимальной сумме лимита

  • Без штрафов за невыбранный лимит

Факторинг: основные его виды и когда он нужен | Развитие малого и среднего предпринимательства | Национальный проект

Факторинг — это комплекс финансовых услуг, оказываемых клиенту в обмен на уступку дебиторской задолженности. Проще говоря, вы продали товар на условиях отсрочки или рассрочки платежа и выставили счет клиенту. Этот счет — обещание вашей будущей выручки, но деньги от покупателя вы пока не получили. Если по любой причине вы хотите получить денежные средства раньше установленного договором срока, то можете обратиться к

фактору.

Фактором может быть банк, факторинговая или микрокредитная компания. На сайтах в сети Интернет можно найти информацию об участниках рынка факторинга. К примеру, список членов Ассоциации факторинговых компаний. Большинство лидеров рынка факторинга предлагают свои услуги в режиме онлайн с использованием специального программного обеспечения, через личный кабинет либо через специализированные платформы.

На заметку:

Если факторинг предлагает банк, важно проверить наличие у него действующей лицензии ЦБ РФ. Сделать это можно по ссылке.
Если факторинг предлагает факторинговая компания, ее ИНН должен содержаться в списке организаций, состоящих на учете на сайте Росфинмониторинга.
Если факторинг предлагает микрофинансовая компания, она должна значиться в
реестре ЦБ РФ
Проверить реальность деятельности и уточнить реквизиты факторинговой компании можно на сайте ФНС России. 

 

Схема классического факторинга выглядит достаточно просто. Поставщик отгружает продукцию покупателю на условиях отсрочки платежа. Накладные передаются в факторинговую компанию. Она в свою очередь платит компании по накладным за отгруженный товар от 50% до 90% долга покупателя (размер этой суммы зависит от величины сделки, продолжительности отсрочки оплаты, рисков, связанных с работой клиента, и количества отгружаемого товара). Позже покупатель переводит на счет факторинговой компании деньги в размере стоимости товаров, поставленных компанией на условиях отсрочки платежа. После этого факторинговая компания переводит остаток суммы поставщику.Факторинг регулируется главой 43 ГК РФ «Финансирование под уступку денежного требования». В ней описаны основные условия договора, обязательства и состав его участников, а также терминология.Договор факторинга отличает обязанность фактора выполнить для вашей компании в обмен на уступку денежного требования не менее двух из четырех действий, перечисленных в пункте 1 статьи 824 ГК РФ.По договору факторинга могут быть уступлены как существующие денежные требования, так и будущие. Уступку по договору факторинга нельзя запретить, но последующая уступка фактором может быть ограничена договором. Ваш клиент (покупатель, заказчик) должен быть уведомлен об уступке, фактор приобретает право на получение всей выручки с вашего клиента (покупателя, заказчик) и обязуется перечислять ее вашей компании в той части, которая превышает ранее выплаченный фактором аванс, если иное не установлено в договоре.

Факторинг не регулируется отдельным законом, кроме ГК РФ, деятельность факторов не лицензируется.


Когда факторинг нужен?

Наиболее частые причины, по которым предприниматели обращаются к факторингу:

1. Факторинг помогает сохранять и увеличивать оборотные средства компании за счет привлечения внешних источников финансирования, но без увеличения кредитной нагрузки.

2. Факторинг помогает отгружать продукцию и предоставлять услуги с отсрочкой платежа, то есть конкурировать за клиентов по условиям оплаты.

3. Факторинг помогает снизить риск неоплаты поставок со стороны клиентов (покупателей, заказчиков) – риск примет на себя фактор.

4. Факторинг помогает расширить географию сбыта, включая выход на зарубежные рынки.

5. Факторинг помогает получать вовремя выручку по договорам – даже если вы не пользуетесь внешним финансированием.

6. Факторинг снижает риски работы с новыми клиентами – их платежеспособность оценивает факторинговая компания или банк.


Виды факторинга

Виды факторинга различаются не по названиям, а по задачам, которые факторинг помогает решать для бизнеса.


По риску неплатежа можно выделить следующие типы факторинга:

  • факторинг с правом регресса: дебиторская задолженность сохраняется на вашем балансе. Это простой и экономичный способ пополнить оборотные средства вашего предприятия без увеличения кредитной нагрузки. Если покупатель не платит в срок, Фактор делает обратную уступку, то есть превращает ваш факторинг в кредит — требует, чтобы вы возвратили первый платеж и заплатили комиссию за пользование деньгами и работу с документами

На заметку: 

Использовать факторинг с правом регресса выгодно, когда дефицит оборотных средств не критичен, клиенты – крупные компании, бизнес имеет потенциал для роста (товары или услуги пользуются спросом) или рост ограничен определенным сезоном.
  • факторинг без права регресса: Фактор выкупает вашу дебиторскую задолженность на свой баланс. Первым платежом Фактор может выплатить вам всю сумму. Если поставка не оплачена, Фактор остается один на один с вашим клиентом-покупателем, вы не обязаны возвращать деньги фактору

На заметку: 

Факторинг без права регресса сводит к нулю финансовые риски поставщика, но, как правило, стоит дороже.
  • реверсивный факторинг: в этой схеме продавец, покупатель и Фактор заключают трехсторонний договор. Поставщики при реверсивном факторинге получают финансирование сразу после поставки товара. Дебиторская задолженность значится на балансе Фактора. И покупатель обязан выплатить деньги именно ему


По моменту перехода прав на выручку к фактору можно выделить следующие типы факторинга:

  • предпоставочный факторинг: авансирует выручку по контракту, который заключен, гарантированно будет оплачен, но пока еще не исполнен вами (близкий «родственник» такого факторинга – кредит на исполнение государственных контрактов)
  • безрегрессный факторинг с постфинансированием: продажа дебиторской задолженности в последний день отсрочки покупателю.

На заметку: 

Стоимость такого факторинга для поставщика ниже, так как проценты за пользование денежными средствами начисляются только с момента получения финансирования.
  • гарантийный факторинг: если выручка от клиентов не поступит вовремя, ее (полностью или большую часть) перечислит на ваш счет фактор.


По контакту с клиентом можно выделить следующие типы факторинга:

  • открытый факторинг: клиент (покупатель, заказчик) заранее получает уведомление с подписями, печатями либо с ЭЦП о начале факторинга
  • закрытый (конфиденциальный) факторинг: уведомление направляется после того, как клиент не оплатил поставку, при этом Фактор получает право списывать с вашего счета поступающие от клиента средства, которыми он авансировал вашу выручку. Важно помнить, что конфиденциальный факторинг становится открытым, если ни ваша компания, ни ваш клиент не исполнили своих обязательств

 
Стоимость факторинга

Стоимость факторинга – это размер комиссии, которая удерживается фактором из финансирования каждой поставки либо оплачивается по выставленным фактором счетам с определенной периодичностью, например, раз в месяц.Комиссия в факторинге состоит из нескольких элементов: стоимости денежных средств на единицу времени, стоимости услуг фактора и фиксированного сбора за обработку документов (документооборот).

С целью снижения стоимости факторинга на федеральном и региональном уровне предусмотрены меры государственной поддержки факторинговых операций (приведены в Приложении 1).


Взаимодействие с фактором

Оценив фактора, переходите к оценке качества его предложения. Вооружитесь информацией, которую фактор предоставляет об условиях обслуживания на своем сайте или в рекламных материалах. Она пригодятся в диалоге с менеджером фактора. Среди критериев для оценки предложения можно обратить внимание на следующие:
КРИТЕРИЙКАК ОЦЕНИТЬ
Работа в регионеОфис Фактора находится близко к вам и к вашим клиентам? Вы готовы перейти на ЭДО с вашими клиентами для того, чтобы получать факторинг у Факторов из других городов?
Продуктовый рядПредлагает ли Фактор что-то кроме стандартных продуктов «факторинг с регрессом» или «факторинг без регресса»?
Лимитная и риск политикаОтличается ли процедуры и количество документов в лучшую сторону от получения кредита или овердрафта? Зависит ли лимит от финансового состояния вашей компании или ваших клиентов?
Процент первого платежаВы понимаете, от чего зависит процент первого платежа у этого Фактора?
Льготный периодЛьготный период предусмотрен, вы понимаете, кто оплачивает технические просрочки и когда наступает регресс.
Состав сервисовДетально и понятно описаны услуги Фактора, которые он оказывает помимо финансирования
Работа с дебиторамиИмеет опыт сотрудничества с вашими клиентами или похожими на них компаниями? У Фактора есть технологии или сотрудники, которые возьмут на себя организацию взаиморасчетов с вашими клиентами?
Практика взысканияВам понятен процесс взыскания просрочки и действия Фактора при отказе от оплаты?
Требования к клиентамПроверка деловой репутации, финансового состояния и платёжной дисциплины, отрасли деятельности компании. Какие документы запрашиваются?

От рукопожатия до финансирования

До заключения договора определитесь с ключевыми для вашего бизнеса параметрами факторинга и убедитесь, что все они отражены в виде соответствующих условий договора 
УСЛОВИЕО ЧЕМ ДОГОВАРИВАЕМСЯ
Вид факторингаЕсли вам нужны оборотные средства и защита от риска неплатежа – выбирайте факторинг без права регресса, если нужны только деньги – выбирайте факторинг с регрессом.
Объем дебиторской задолженности, передаваемой на факторингФакторинг включается в вашу сделку с клиентом – это может быть годовой договор поставки, договор с этапами работ или оказания услуг. Фактор может получать все оплаты по этому договору, а может только часть – по вашему выбору.
Принимаемая фактором отсрочкаВ ваших договорах с клиентами отсрочка платежа может быть меньше или больше той, которую готов принять (финансировать) фактор. Если отсрочка фактора меньше – уточните процедуру ее увеличения. Если больше – узнайте, кто будет платить комиссию за дополнительные дни.
Какие клиенты принимаются на факторингВ зависимости от вида факторинга фактор оценивает кредитный риск по вашей компании либо по вашим клиентам.
Процент первого платежа (аванса)Если вы продаете фактору дебиторскую задолженность (факторинг без регресса), номинал не всегда может составлять 100%. Уточните, какой размер дисконта, как он возвращается и как может быть уменьшен. Если уступка происходит по факторингу с регрессом, рассчитайте, устроит ли вас доля оборотных средств, которую предлагает фактор.
Лимит финансированияНа старте сотрудничества лимит финансирования (максимальная сумма всех первых платежей от фактора), как правило, не превышает среднемесячный оборот с вашими клиентами, передаваемыми на факторинг. Если расчет риска производится по вашей компании, то лимит устанавливается по аналогии с кредитным, если по вашим клиентам либо по связке с каждым из них – лимит будет зависеть от объемов продаж и динамики оплат.
Порядок погашения долга по поставке и по факторингуСитуации, когда ваш клиент не платит фактору (долг по поставке), возникают нередко. Как в этих случаях действует фактор? Будет ли он выплачивать вам первые платежи по следующим поставкам? Включит «льготный период» или уменьшит лимит? А если вы не оплатили выставленные Фактором счета на оплату факторинговых комиссий? О таких микро-кризисах необходимо договориться до начала работы по факторингу.
ДокументооборотПроцесс обмена документами при факторинге разделен так же, как и финансовый оборот: основную часть документов фактор получает от вашей компании, но самая важная часть касается вашего клиента (покупателя). Определитесь, сможете ли вы запросить у вашего клиента документы, которые требует фактор. Настройка электронного документооборота – отдельный процесс: с фактором, скорее всего, вы будете взаимодействовать через личный кабинет или банк-клиент, а как быть, если с вашими клиентами вы обмениваетесь счетами и накладными по обычной почте? Реально ли подключить ваших клиентов к системе ЭДО или платформе, которую использует фактор? От решения этих и других вопросов документооборота зависит скорость финансирования и накладные расходы в работе по факторингу.

Более подробно ознакомиться с информацией о факторинге вам может помочь «Краткий путеводитель для российских компаний», размещённый ниже. Он предназначен для того, чтобы организация смогла самостоятельно пройти путь от осознания потребности в факторинге до получения услуги. Он не является основанием для принятия каких-либо финансовых и инвестиционных решений и не является офертой.

Основы факторинговых операций – Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Факторинг всегда являлся отличным инструментом финансирования рабочего капитала, управления рисками, развитием сети поставщиков и покупателей. Особенно важно это сейчас, в период высокой рыночной волатильности и общей неопределённости. Однако, для наиболее эффективного применения факторинга, необходимо хорошо понимать базовую структуру операции, юридическую основу, различные формы и варианты использования. Поэтому для успешного внедрения этого инструмента крайне полезно получить системные знания обо всех аспектах применения.

Использование факторинга решает задачи сразу нескольких подразделений: коммерческого направления и закупок, казначейства, направления кредитного риск-менеджмента. Поэтому предлагаемый учебный курс может быть интересен достаточно широкому кругу специалистов. Но, в первую очередь, он предназначен для казначеев, как людей, отвечающих за финансирование рабочего капитала. Причём хорошо проработанная программа и подача материала с разных сторон привлечёт людей с разным уровнем опыта. Курс поможет и получить глубокие знания по вопросу, и взглянуть на уже знакомые моменты с новой стороны.

Важным отличием курса является не только структура программы, но состав преподавателей – это и сотрудники НИУ ВШЭ, и представители Факторов, и действующие корпоративные казначеи. Проходящие курс получат не только теоретическую базу, но и смогут обсудить живые кейсы, получив практические примеры из жизни и рекомендации по конкретным вопросам.

При оплате курса «Казначейство: фокус на платежеспособность и ликвидность» на данный курс предоставляется скидка 15% (скидки не суммируются).

10-24 апреля 2021 г. состоялся первый запуск курса

По итогам курса были подготовлены следующие статьи:

Целевая группа

Программа будет интересна широкому кругу специалистов с разным опытом.

Курс особенно рекомендован казначеям и специалистам, отвечающим за финансирование рабочего капитала.

С курсом вы получите:

Удостоверение о повышении квалификации

от единственного российского вуза, входящего в международный рейтинг QS по профилю Accounting and Finance

Все материалы от преподавателей

презентации, таблицы, шаблоны, к которым можно обратиться в любое время и адаптировать для своих задач

Рекомендации и новые контакты в отрасли

вы получите ответы преподавателей на свои вопросы, рекомендации Школы финансов по продолжению образования и не только

Преподаватели

Елена Макеева

Заместитель руководителя Школы финансов факультета экономических наук НИУ ВШЭ, к.э.н., доцент

Практический опыт работы: более 15 лет работы финансовым директором в среднем сегменте бизнеса; консалтинг проектов по анализу эффективности операционной деятельности компаний; разработка моделей для оценки вероятности банкротства компаний реального сектора. Автор (соавтор) более 25 публикаций в международных и отечественных журналах. Руководитель проекта «Политика финансирования» научно-учебной Лаборатории корпоративных финансов факультета экономических наук НИУ ВШЭ.

Виктор Пинчук

Управляющий директор по работе с клиентами, ВТБ Факторинг (ГК)

Опыт работы на рынке факторинга более 10 лет. За это время разработал и впервые вывел на российский рынок многие инновационные факторинговые решения. Среди них такие «бестселлеры» как агентский факторинг и комплексные программы финансирования поставщиков (Supply Chain Finance — SCF).  Виктор любит нестандартные решения и подходы. В работе руководствуется принципом: «Не говори клиенту, что это невозможно, придумай как сделать». В рамках курса он расскажет об очередном прорывном инструменте управления оборотным капиталом – программах ABL финансирования.

Дмитрий Кулинич

Управляющий директор по работе с клиентами, ВТБ Факторинг (ГК)

Присоединился к команде ВТБ Факторинг в 2013 году. Отвечает за взаимодействие с ключевыми клиентами ВТБ Факторинг в сегменте транспорта, транспортного машиностроения, нефтехимической промышленности.  Дмитрий расскажет о целях и практике структурирования факторинговых сделок при работе с кредиторской задолженностью, влиянии факторинга на чистый рабочий капитал, а также об опыте реализации программ финансирования поставщиков.

 

Ксения Качкина

Управляющий директор по региональным продажам, ВТБ Факторинг (ГК)

Ксения работает в отрасли более 15 лет, из которых 10 лет в ВТБ Факторинг. Специализируется на региональных рынках, где проникновение факторинга в экономику традиционно ниже, чем в центральной части страны. Имеет весомый опыт структурирования нестандартных и международных сделок. Ксения расскажет о современной практике применения классического факторинга дебиторской задолженности и его актуальных производных, появление которых продиктовано потребностями рынка.

Юрий Левин

Директор юридической дирекции ВТБ Факторинг (ГК)

Юрий руководит юридическим подразделением ВТБ Факторинг более 8 лет, имеет совокупный опыт работы в факторинге более 11 лет. За указанный период проанализированы терабайты судебной практики, с учётом которой постоянно совершенствуются процессы в факторинге и его договорные конструкции. Юрий расскажет о собственной практике изменения юридических конструкций с учетом законодательных возможностей и ограничений для решения нестандартных бизнес-задач, а также о юридических аспектах реализации рисковых событий в рамках факторинговых сделок.

Виктория Фалина

Начальник отдела по работе с дебиторами ВТБ Факторинг (ГК)

Виктория имеет 11-летний опыт взаимодействия с федеральными сетями и работает в ВТБ Факторинг практически со дня основания компании. Первой на рынке разработала методологию и регламент финансирования поставщиков на площадке FactorPlat с ГК Х5. В целом она имеет опыт работы практически со всеми действующими в России цифровыми факторинговыми платформами (FactorPlat, Factorin, GetFinance, Контур факторинг). В рамках курса Виктория подробно расскажет об особенностях этих и других платформ, представленных на российском рынке факторинга, об их функционале, возможностях, отличиях, преимуществах и недостатках.

Игорь Маймин

Начальник Управления структурирования и экспертизы рисков ВТБ Факторинг (ГК)

Игорь имеет 15-летний опыт работы в области оценки кредитоспособности заемщиков юридических лиц. В ВТБ Факторинг со дня основания компании в 2009 году. Оценивал не только крупнейшие сделки и проекты, но и портфели сторонних факторов, а также участвовал в их миграции. Игорь расскажет о принципах финансового анализа участников факторинговых сделок (клиентов и дебиторов), об особенностях оценки в сравнении с классическими кредитными продуктами, о видах рисков, оцениваемых факторинговыми компаниями и способах их минимизации.

 Для членов НП «Ассоциация корпоративных казначеев» и клиентов ООО ВТБ Факторинг действует скидка 50%

 обучения

общая трудоемкость

 ак. часов онлайн с преподавателями

 старт занятий

 слушателей в группе

Отзывы

Хочу поблагодарить организаторов данной программы за возможность как можно больше узнать о практическом применении факторинговых сделок. Это был очень интересный и увлекательный курс. Для меня, как для казначея, факторинг является именно тем инструментом, тем флагманом, который управляет кредитными рисками и рисками ликвидности, улучшает платежную дисциплину компании. Я рекомендую данный курс специалистам в области финансов, финансовым менеджерам, казначеем. Спасибо большое за предоставленный материал

Программа очень понравилась своей полезностью и углублением знаний в области факторинга. На мой взгляд, курс удачно структурирован — вначале с экономической (и даже почти научной) точки зрения разобрали необходимость факторинга, далее прошлись по основам, уточнили риски, финансовые и юридические аспекты, и дальше разбирались с узкими продуктами, цифровизацией, параллельно разбирая конкретные кейсы применения и использования факторинга в различных отраслях. Организаторы и выступающие, на мой взгляд, хорошо понимают задачи пришедших на обучение «студентов», интересно преподносят материал, поэтому я с готовностью рекомендую данное обучение заинтересованным в применении факторинга коллегам

Стоит отметить практикоориентированность курса. Материал подготовлен таким образом, что сложно что-то сократить, при этом он охватил максимально широкий спектр вопросов и тонкостей работы с оборотным капиталом. Лекторы не только раскрыли все основные детали и особенности использования факторинга, но и разобрали кейсы с объяснением в каких ситуациях какие финансовые инструменты использовать более целесообразно. Благодаря полученным знаниям шаблонное принятие решений полностью исключается в пользу подробного разбора ситуации и оценки всех возможных решений. Крайне полезный курс, рекомендую к изучению

При небольшом количестве часов курса материал Школы факторинга очень ёмкий, грамотно и логично структурирован, даёт возможность расширить знания в области факторинговых операций, даже тому, кто отлично знаком с этим инструментом. Преподавательский состав подобран таким образом, что позволяет рассмотреть тему факторинга с самых различных ракурсов. Лекторы Школы являются практикующими специалистами, ориентируются в том числе на собственную многолетнюю практику, которую не найти ни в одном учебнике. Интересный и полезный курс

Спасибо большое за актуальную программу обучения и интересный курс, который позволил систематизировать знания и навыки, а также найти полезные акценты для себя, за возможность в неформальной обстановке обсудить вопросы, поделиться опытом

Условия поступления

При поступлении на программу «Основы факторинговых операций» необходимо предоставить сканы/фото следующих документов:

  • Основных страниц паспорта (с фото и с регистрацией)
  • Диплома о высшем/среднем специальном образовании либо справки об обучении
  • Свидетельства о смене фамилии (если в паспорте и дипломе фамилия не совпадает)

Отправить заявку на обучение

Как с нами связаться:

Вы можете позвонить нам по телефону: +7 (495) 621-91-92

Вас может заинтересовать

Факторинг

Пример факторинга существующих денежных требований

Один из наиболее распространенных видов факторинга – досрочная оплата исполненных контрактов (этапов контракта), по которым предусмотрена отсрочка платежа. Пример: поставщик заключил контракт на поставку текстильной продукции в течение года. При этом поставка осуществляется ежемесячно по заявкам заказчика, а оплата происходит в конце срока – 31 декабря. Таким образом, поставщик ежемесячно привозит товар и получает закрывающий документ на поставленный объем и сумму. Поставщик может уступить задолженность заказчика по закрывающему документу факторинговой компании и сразу же получить до 90% от суммы поставки. Выплата финансирования производится на расчетный счет поставщика в течение 24 часов с момента подписания сторонами реестра денежных требований.

В согласованный срок заказчик оплачивает свои обязательства по контракту, но не поставщику, а факторинговой компании, так как была оформлена уступка задолженности.

Пример факторинга аванса

Подрядчик заключил контракт на строительство больницы, при этом предусмотрена выплата аванса в размере 30% от цены контракта. У заказчика нет возможности оплатить аванс, из-за чего подрядчик не приступает к исполнению контракта. Заказчик может обратиться в факторинговую компанию и оформить факторинг аванса. Факторинговая компания выполняет обязательства заказчика и выплачивает подрядчику до 100% от суммы предусмотренного аванса, выплата средств производится на расчетный счет подрядчика в течение 24 часов с момента подписания сторонами реестра денежных требований. Подрядчик приступает к исполнению контракта. Заказчик в согласованный и удобный для него срок погашает задолженность перед факторинговой компанией, возвращая ей сумму финансирования.

В факторинге аванса клиент (заказчик) уступает права будущего требования возврата аванса. Если поставщик не исполнит свои обязательства по контракту в срок, то он будет обязан вернуть выплаченный ему аванс. Но так как была оформлена уступка, то он вернет его не заказчику, а факторинговой компании, профинансировавшей контракт.

Пример факторинга качества

Поставщик заключил контракт на поставку нефтепродуктов в течение года. При этом поставка осуществляется ежемесячно по заявкам заказчика, а оплата происходит поквартально за весь объем продукции, отгруженной в течение 3 месяцев. Поставщик ежемесячно, с января по март, поставлял нефтепродукты, но 1 апреля заказчик не смог оплатить свои обязательства. Поставщик приостановил исполнение контракта до получения просроченной задолженности.

Чтобы расплатиться с поставщиком и возобновить поставки, заказчик обращается в факторинговую компанию и заключает договор факторинга качества. Факторинговая компания оплачивает обязательства заказчика перед поставщиком. Выплата средств производится на расчетный счет поставщика в течение 24 часов с момента подписания сторонами реестра денежных требований. В согласованный и удобный для него срок заказчик погашает задолженность факторинговой компании.

В факторинге качества клиент (заказчик) уступает права будущего требования возврата денежных средств, которые могут возникнуть из-за претензий к качеству товара. Если поставщик поставит некачественный товар, то он обязан вернуть полученные по контракту средства. Но так как была оформлена уступка, то он вернет их не заказчику, а факторинговой компании, профинансировавшей контракт.

Финансирование международного факторинга — ключевые проекты МБЭС

Обратная связь

Организация*

Полное имя*

E-mail*

Сообщение*

* — отмечены поля обязательные для заполнения

Я согласен с правилами обработки персональных данных

Отправить

Этот сайт защищен reCAPTCHA, и применяются Политика конфиденциальности и Условия использования Google.

Задать вопрос по продукту

Ф.И.О.*

E-mail*

Телефон*

Компания*

Продукт

Со-финансирование и синдикацииКазначейские операцииКредитыУправление денежными средствамиИнструменты развития торговли

Вопрос*

* — отмечены поля обязательные для заполнения

Я согласен с правилами обработки персональных данных

Отправить

Этот сайт защищен reCAPTCHA, и применяются Политика конфиденциальности и Условия использования Google.

Отправить резюме

Ф.И.О.*

E-mail*

Телефон*

Прикрепить резюме

Файл не выбран

Выбрать файл

Сообщение*

* — отмечены поля обязательные для заполнения

Я согласен с правилами обработки персональных данных

Отправить

Этот сайт защищен reCAPTCHA, и применяются Политика конфиденциальности и Условия использования Google.

Принять участие в конкурсе

Ф.И.О. *

E-mail *

Телефон *

Компания *

Прикрепить файл

Файл не выбран

Выбрать файл

Текст предложения*

* — отмечены поля обязательные для заполнения

Я согласен с правилами обработки персональных данных

Отправить

Этот сайт защищен reCAPTCHA, и применяются Политика конфиденциальности и Условия использования Google.

Факторинг по алгебре

Факторы

У чисел есть множители:

И выражения (например, x 2 + 4x + 3 ) также имеют множители:

Факторинг

Факторинг (в Великобритании называется « Факторинг ») — это процесс нахождения факторов :

Факторинг: поиск того, что нужно умножить, чтобы получить выражение.

Это похоже на «разбиение» выражения на умножение более простых выражений.

Пример: множитель 2y + 6

У 2y и 6 есть общий множитель 2:

Таким образом, мы можем разложить все выражение на:

2у + 6 = 2 (у + 3)

Таким образом, 2y + 6 было «учтено» в 2 и y + 3

Факторинг также противоположен расширению:

Общий коэффициент

В предыдущем примере мы видели, что 2y и 6 имеют общий множитель 2

Но для правильного выполнения работы нам нужен наивысший общий множитель , включая все переменные

Пример: коэффициент 3y

2 + 12y

Во-первых, 3 и 12 имеют общий делитель 3.

Итак, мы могли бы иметь:

3 года 2 + 12 лет = 3 (год 2 + 4 года)

Но мы можем сделать лучше!

3y 2 и 12y также разделяют переменную y.

Вместе, что составляет 3 года:

  • 3y 2 — 3y × y
  • 12y — 3y × 4

Таким образом, мы можем разложить все выражение на:

3 года 2 + 12 лет = 3 года (y + 4)

Чек: 3y (y + 4) = 3y × y + 3y × 4 = 3y 2 + 12y

Более сложный факторинг

Факторинг может быть трудным!

До сих пор примеры были простыми, но факторизация может оказаться очень сложной.

Потому что нам нужно изобразить то, что мы умножили на , чтобы получить данное нам выражение!


Это все равно, что пытаться найти, какие ингредиенты
пошли на торт, чтобы сделать его таким восхитительным.
Это может быть сложно понять!

Опыт помогает

Чем больше опыта, тем проще факторинг.

Пример: Фактор

4x 2 — 9

Хммм … похоже, нет общих факторов.

Но знание специальных биномиальных произведений дает нам ключ к разгадке, который называется «разница квадратов». :

Потому что 4x 2 равно (2x) 2 , а 9 равно (3) 2 ,

Итак имеем:

4x 2 — 9 = (2x) 2 — (3) 2

А это можно получить по формуле разности квадратов:

(a + b) (a − b) = a 2 — b 2

Где a — 2x, а b — 3.

Итак, давайте попробуем это сделать:

(2x + 3) (2x − 3) = (2x) 2 — (3) 2 = 4x 2 — 9

Да!

Таким образом, множители 4x 2 — 9 равны (2x + 3) и (2x − 3) :

Ответ: 4x 2 -9 = (2x + 3) (2x − 3)

Как можно этому научиться? Получив много практики и зная «Самобытность»!

Помните эти личности

Вот список общих «Идентификаций» (включая «разность квадратов» , использованную выше).

Об этом стоит помнить, так как они могут облегчить факторинг.

а 2 — б 2 = (а + б) (а-б)
a 2 + 2ab + b 2 = (а + б) (а + б)
a 2 — 2ab + b 2 = (а-б) (а-б)
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 −ab + b 2 )
a 3 — b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2 )
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (а + б) 3
a 3 −3a 2 b + 3ab 2 −b 3 = (а-б) 3

Подобных гораздо больше, но это самые полезные.

Совет

Обычно лучше всего использовать разложенную форму.

При попытке факторизации выполните следующие действия:

  • «Вынести за скобки» любые общие термины
  • Посмотрите, подходит ли он какой-либо из идентификационных данных, а также другим, которые вы, возможно, знаете
  • Продолжайте, пока вы больше не сможете множить

Существуют также системы компьютерной алгебры (называемые «CAS»), такие как Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce и многие другие, которые хорошо подходят для факторинга.

Другие примеры

Опыт действительно помогает, поэтому вот еще несколько примеров, которые помогут вам на этом пути:

Пример: w

4 — 16

Показатель степени 4? Может быть, мы могли бы попробовать показатель степени 2:

w 4 — 16 = (w 2 ) 2 — 4 2

Да, это разница квадратов

w 4 — 16 = (w 2 + 4) (w 2 — 4)

И «(w 2 — 4)» — еще одно отличие квадратов

w 4 -16 = (w 2 + 4) (w + 2) (w -2)

Это все, что я могу (если я не использую мнимые числа)

Пример: 3u

4 — 24uv 3

Удалить общий множитель «3u»:

3u 4 — 24uv 3 = 3u (u 3 — 8v 3 )

Тогда разница кубиков:

3u 4 — 24uv 3 = 3u (u 3 — (2v) 3 )

= 3u (u − 2v) (u 2 + 2uv + 4v 2 )

Это все, что я могу.

Пример: z

3 — z 2 — 9z + 9

Попробуйте разложить на множители первые два и вторые два по отдельности:

z 2 (z − 1) — 9 (z − 1)

Вау, (z-1) есть на обоих, так что давайте воспользуемся этим:

(z 2 −9) (z − 1)

А z 2 −9 — разность квадратов

(г-3) (г + 3) (г-1)

Это все, что я могу.

А теперь побольше опыта:

Подходит ли факторинг счетов для вашего бизнеса?

Как владелец малого бизнеса, вы можете превратить неоплаченные счета-фактуры клиентов в быструю оплату наличными с помощью факторинга счетов-фактур.Этот вариант финансирования лучше всего подходит для владельцев предприятий, клиентами которых являются другие предприятия. Поскольку эти клиенты обычно не платят за товары или услуги сразу, факторинг счетов может обеспечить немедленное получение наличными для владельцев бизнеса, чтобы продолжать платить сотрудникам или другие расходы.

Вот что вам нужно знать о факторинге счетов.

Что такое факторинг счетов?

Технически факторинг счетов-фактур не является ссудой. Вместо этого вы продаете свои счета факторинговой компании со скидкой в ​​обмен на единовременную денежную сумму.Факторинговая компания становится владельцем счетов-фактур и получает оплату при получении от ваших клиентов, как правило, в течение 30–90 дней.

Допустим, вы владеете строительным магазином и продаете товары другому предприятию, выставив счет на 10 000 долларов. Ваш клиент соглашается оплатить счет в течение 30 дней, но на следующей неделе вам понадобятся наличные для оплаты ваших сотрудников. У вас нехватка денежных средств.

Вы можете обратиться за ссудой в традиционный банк, но это, вероятно, потребует выдающегося личного кредита плюс залог, физический актив, такой как недвижимость, которую кредитор может продать в случае вашего дефолта.Или, может быть, вы соответствуете критериям, но не можете ждать несколько месяцев, пока истечет срок ссуды.

Итак, вы обращаетесь в факторинговую компанию, и она соглашается купить ваш счет за 9700 долларов наличными — 10 000 долларов за вычетом 3% комиссии за факторинг (300 долларов). Факторинговая компания по счетам-фактурам авансирует 85% счета (или 8 245 долларов США) в течение нескольких дней. Затем факторинговая компания собирает счет, когда он подлежит оплате, и предоставляет вам оставшуюся задолженность (1455 долларов США).

Пример факторинга счета-фактуры

Первоначальный аванс (85% стоимости счета-фактуры после комиссии)

902 902
902 902 известная как ставка дисконтирования, может варьироваться от 1% до 5%, в зависимости от суммы счета, объема продаж, кредитоспособности вашего клиента и от того, является ли фактор «регресс» или «невозвращение».»Тип фактора относится к тому, кто в конечном итоге несет ответственность за неоплаченный счет — ваша компания или факторинговая компания.

Если договор является фактором регресса, и клиент не платит, вам, возможно, придется выкупить неоплаченную дебиторскую задолженность. от факторинговой компании или замените его более актуальной дебиторской задолженностью равной или большей стоимости. Если это фактор отсутствия права регресса, вы не обязаны возвращать или заменять неоплаченную дебиторскую задолженность, но с вас, скорее всего, будет взиматься более высокая комиссия за транзакцию, потому что факторинговая компания берет на себя дополнительный риск не получить обратно свои деньги.

Плюсы факторинга счетов

  • Быстрые выплаты: факторинг счетов может обеспечить немедленный оборотный капитал, чтобы помочь покрыть дефицит финансирования, вызванный медленно платящими клиентами.

  • Улучшение денежного потока: вы можете удерживать постоянных клиентов на более длительных сроках оплаты, но при этом улучшить свой денежный поток, чтобы помочь вам в развитии вашего бизнеса.

  • Более простое утверждение: факторинг счетов предоставляет финансирование компаниям, которые могут быть не в состоянии получить капитал из других источников, таких как традиционный банк, из-за отсутствия залога, плохой личной кредитной истории или ограниченной операционной истории.Как правило, факторинговые компании заботятся только о стоимости счетов, которые вы хотите факторизовать, и о кредитоспособности ваших клиентов.

  • Залог не требуется: факторинг счетов — это необеспеченное финансирование, что означает, что он не требует залога — такого актива, как недвижимость или запасы, которые кредитор может конфисковать, если вы не заплатите.

Минусы факторинга счетов

  • Высокая стоимость: услуга может быть дорогой. Вы также должны следить за скрытыми сборами, такими как сборы за подачу заявления, сборы за обработку каждого счета, который вы финансируете, сборы за проверку кредитоспособности или сборы за просрочку платежа, если ваш клиент просрочил платеж.Просроченные платежи могут вызвать увеличение вашей годовой процентной ставки, годовой стоимости заимствования денег с учетом всех комиссий и процентов.

  • Не для каждого бизнеса: факторинг счетов лучше всего подходит для предприятий, которые работают с другими предприятиями, потому что транзакции включают счета-фактуры. Таким образом, компании, которые продают или работают напрямую с потребителями, не имеют права на этот вариант.

  • Потеря прямого контроля: поскольку факторинговая компания может собирать счета напрямую, вам необходимо убедиться в соблюдении этических норм и справедливости при общении с вашими клиентами.

  • Плохая кредитоспособность клиентов или слабое финансовое положение могут помешать вашему финансированию. Факторинговая компания может нуждаться в проверке кредитоспособности ваших клиентов. Если у клиентов есть история просроченных или пропущенных платежей, или если у бизнеса низкий доход, вы можете не получить одобрение на финансирование. Факторинговая компания ожидает возврата денег, как и другие кредиторы.

  • Нет гарантии получения: нет уверенности, что факторинговая компания успешно соберет счета по вашим неоплаченным счетам.Если это фактор регресса, факторинговая компания может потребовать от вас выкупить неоплаченный счет или заменить его на счет равной или большей стоимости.

Чем отличаются факторинг по счетам и финансирование по счетам?

Финансирование счетов немного отличается от факторинга. Вместо того, чтобы продавать свои счета факторинговой компании, вы используете их в качестве залога для получения денежного аванса, и вы остаетесь ответственным за сбор платежей по счетам.

Факторинг

Факторинг — это полный финансовый пакет, который сочетает в себе финансирование экспортного оборотного капитала, кредитную защиту, бухгалтерский учет иностранной дебиторской задолженности и коллекторские услуги.Факторинговая компания или фактор — это банк или специализированная финансовая фирма, которая осуществляет финансирование путем покупки счетов-фактур или дебиторской задолженности. Форма факторинга, экспортный факторинг, предлагается по соглашению между фактором и экспортером, при котором фактор покупает краткосрочную зарубежную дебиторскую задолженность экспортера за наличные деньги со скидкой от номинальной стоимости, обычно без права регресса. Фактор также предполагает риск, связанный с платежеспособностью иностранного покупателя, и обрабатывает взыскание дебиторской задолженности.Таким образом, фактически устраняя риск неплатежей со стороны иностранных покупателей, факторинг позволяет экспортеру предлагать открытые счета, улучшает позиции ликвидности и повышает конкурентоспособность на мировом рынке.
Факторинг рекомендуется для непрерывных краткосрочных экспортных продаж потребительских товаров на открытых счетах:

  • Он предлагает 100% защиту от неспособности иностранного покупателя заплатить — без франшизы или разделения рисков.
  • Это привлекательный вариант для малых и средних экспортеров, особенно в периоды быстрого роста, поскольку сохраняется денежный поток и практически устраняются риски.
Как это работает

Экспортер подписывает соглашение с экспортным фактором, который выбирает фактор импорта через международную корреспондентскую сеть факторов, а затем исследует кредитоспособность иностранного покупателя. После утверждения кредита на месте иностранный покупатель размещает заказы на товары на открытом счете. Затем экспортер отправляет товары и представляет счет-фактуру фактору экспорта, который затем передает его фактору импорта. Фактор импорта занимается сбором и оплатой дебиторской задолженности на месте.На всех этапах сделки ведется бухгалтерский учет экспортера.

Необходимо учитывать некоторые ограничения факторинга. Факторинг существует в странах с законами, поддерживающими покупку и продажу дебиторской задолженности. Как правило, он не работает с иностранной дебиторской задолженностью со сроком более 180 дней. Это также не очень подходит для компании, которая только что начала экспортировать, поскольку факторы, как правило, (а) не привлекают клиента к единовременной сделке и (б) требуют доступа к определенному объему годовых продаж экспортера.Наконец, это может быть непомерно дорогостоящим для экспортеров с низкой рентабельностью.

Список литературы

Полезное чтение включает Руководство по торговому финансированию Министерства торговли США. Полезные ссылки включают веб-страницы International Factors Group (http://www.ifgroup.com/) и Международной ассоциации факторинга.

Расширенный факторинг

Вы всегда можете использовать формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти два корня квадратного трехчлена.

Но часто можно проще найти корни с помощью факторинга.

Иногда вы даже можете использовать факторизацию, чтобы найти корни уравнения более высокого порядка, например, кубического или четвертого многочлена. Ниже мы покажем некоторые частные случаи и то, как их разложить на множители.

Пример 1:

Разложите на множители трехчлен x3 + 7×2 + 10x.

Здесь x является общим для всех терминов, поэтому его можно вынести за скобки.

x3 + 7×2 + 10x = x (x2 + 7x + 10)

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 7 и произведение которых равно 10, чтобы разложить на множитель x2 + 7x + 10.

Цифры 2 и 5.

х2 + 7х + 10 = (х + 2) (х + 5)

Следовательно, x3 + 7×2 + 10x = x (x + 2) (x + 5).

Пример 2:

Разложите на множители трехчлен x2y2−5xy2−24y2.

Здесь y2 является общим для всех членов, поэтому его можно вынести за скобки.

x2y2−5xy2−24y2 = y2 (x2−5x − 24)

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна −5 и произведение которых равно −24, чтобы разложить на множители x2−5x − 24.

Среди пар факторов −24 два числа, которые имеют сумму −5, — это −8 и 2.

Итак, x2−5x − 24 = (x − 8) (x + 2).

Следовательно, x2y2−5xy2−24y2 = y2 (x − 8) (x + 2).

Пример 3:

Фактор, x4 + x2−30.

Здесь у вас есть многочлен порядка 4. Подставим x2 = X, чтобы получить эквивалентный квадратичный многочлен X2 + X − 30.

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 1 и произведение которых равно −30, чтобы разложить на множители X2 + X − 30.

Среди пар факторов −30 два числа с суммой 1 — это −5 и 6.

Итак, X2 + X − 30 = (X − 5) (X + 6).

То есть x4 + x2−30 = (x2−5) (x2 + 6).

Вы можете использовать тождество a2 − b2 = (a + b) (a − b), чтобы уменьшить x2−5 как (x + 5) (x − 5).

Бином x2 + 6 неприводим; его нельзя разложить на реальные числа.

Следовательно, x4 + x2−30 = (x + 5) (x − 5) (x2 + 6).

Пример 4:

Разложите на множители многочлен x3−3×2 + 4x − 12.

Здесь ни один из вышеперечисленных способов не сработает!

Сгруппируйте первые 2 термина и последние 2 термина вместе.

x3−3×2 + 4x − 12 = (x3−3×2) + (4x − 12)

Здесь x2 является общим в первых 2 членах, а 4 — общим в последних 2 членах. Вынесите их за скобки!

(x3−3×2) + (4x − 12) = x2 (x − 3) +4 (x − 3)

Теперь вычтите множитель (x − 3).

x2 (x − 3) +4 (x − 3) = (x − 3) (x2 + 4)

Бином x2 + 4 неприводим; его нельзя разложить на реальные числа.

Следовательно, x3−3×2 + 4x − 12 = (x − 3) (x2 + 4).

Пример 5:

Разложите на множители многочлен 6×2 + 7xy + 2y2.

Нам нужно найти два числа, произведение которых равно произведению коэффициентов x2- и y2- членов, а сумма которых равна коэффициенту среднего члена. То есть два числа, сумма которых равна 7 и произведение которых 6 умножает на 2 или 12.

Среди пар факторов, состоящих из 12, два числа с суммой 7 — это 4 и 3.

Запишите средний член трехчлена, используя числа.

6×2 + 7xy + 2y2 = 6×2 + 4xy + 3xy + 2y2

Теперь у нас есть нечто похожее на пример 4.Итак, сгруппируйте первые 2 термина и последние 2 термина вместе.

6×2 + 7xy + 2y2 = (6×2 + 4xy) + (3xy + 2y2)

Здесь 2x является общим в первых 2 членах, а y — общим в последних 2 членах. Вынесите их за скобки!

(6×2 + 4xy) + (3xy + 2y2) = 2x (3x + 2y) + y (3x + 2y)

Теперь используйте свойство распределения.

2x (3x + 2y) + y (3x + 2y) = (3x + 2y) (2x + y)

Следовательно, 6×2 + 7xy + 2y2 = (3x + 2y) (2x + y).

См. Также факторизацию по группировке и неприводимые многочлены.

Факторинговая квадратичная система: простой случай

Purplemath

«Квадратичный» — это многочлен, который выглядит как «a x 2 + b x + c», где «a», «b» и «c» — это просто числа (и либо b, либо c, но никогда a, может быть равно нулю).

Для простого случая факторизации квадратичных многочленов нам нужно будет найти два числа, которые будут умножаться, чтобы равняться постоянному члену c, а также суммировать до равного b, коэффициент при линейном члене x в середине. . Почему?

Квадраты — это полиномы второй степени. Когда вы учились умножать многочлены вместе, они, вероятно, начали вас с умножения двух биномов вместе (и, вероятно, они называли этот процесс «FOILing»).

MathHelp.com

Чтобы получить квадратичный коэффициент, у которого старший коэффициент равен 1 (без дробей), каждый из исходных биномов также должен иметь старший коэффициент, равный 1.

Рассматривая два общих бинома (используя переменную x и общие числа p и q), мы можем умножить биномы следующим образом:

( x + p) ( x + q)

x 2 + p x + q x + pq

x 2 + (p + q) x + pq

В приведенном выше примере (p + q) = b и pq = c из « x 2 + b x + c».Это умножение и упрощение объясняют, почему, чтобы разложить квадратичный множитель, нам нужно начать с поиска двух чисел (p и q выше), которые в сумме дают равное b, где эти числа также умножаются, чтобы равняться c. Этого требует логика факторизации (а разложение квадратичного — это «отмена» исходного биномиального умножения).

(Кстати, я называю эту тему «квадратичное разложение на множители», а в вашем учебнике эта тема может быть названа «разложением на множители трехчленов».Но «трехчленом» является любой трехчленный многочлен, который может не быть квадратичным (то есть степенью два) многочленом. И не во всех квадратиках есть три члена. Так что заголовок раздела или главы книги в лучшем случае немного не соответствует цели. Однако не беспокойтесь о разнице; название книги означает то же, что объясняется в этом уроке.)

Вот как на практике выглядит «простой» процесс квадратичной факторизации:

Этот квадратичный коэффициент имеет старший коэффициент 1, так что это простой случай факторизации.Для начала мне нужно найти множители c = +6, которые в сумме дают b = +5. У меня есть два варианта, потому что 6 факторов как произведение 2 и 3 или как произведение 1 и 6.

Теперь, поскольку я умножаю на положительное шесть, тогда мои множители должны иметь один и тот же знак; они оба должны быть положительными, иначе они оба должны быть отрицательными, потому что именно так работают отрицания. Поскольку я добавляю к положительной пятерке, оба фактора должны быть положительными.

Я проверю суммы пар потенциальных факторов, чтобы увидеть, какой из них работает:

Поскольку мне нужно, чтобы мои множители суммировались до плюс пять, я буду использовать множители +2 и +3.

Еще когда я научился умножать многочлены, я знал, что они получили эту квадратичную, умножая два бинома. Поскольку ведущий коэффициент равен 1, я знаю, что ведущий коэффициент каждого из этих биномов также должен был быть равен 1. Это означает, что вначале продукт выглядел примерно так:

( x ) ( x )

В конце каждой скобки идут числа, которые умножаются на +6 и складываются до +5.Это означает, что я могу завершить факторинг, подставив эти числа в скобки в любом порядке:

Почему «в любом порядке»? Поскольку передние концы двух скобок были одинаковыми, в любом случае я бы получил одинаковую факторизацию. Помните: порядок не имеет значения при умножении.

Вот как будут работать все «легкие» квадратики: мы находим множители постоянного члена, которые складываются в средний член, а затем мы используем эти множители для заполнения скобок.

Между прочим, мы всегда можем проверить нашу работу, умножив наши множители обратно вместе, и убедиться, что мы вернулись к исходному ответу. Чтобы проверить приведенную выше факторизацию, умножение выглядит следующим образом:

Ваш текст или учитель могут ссылаться на факторинг «по группировке», который рассматривается в уроке по простому факторингу. В «легком» случае факторинга использование метода «группировки» просто дает вам дополнительную работу.Например, в приведенной выше задаче, помимо нахождения множителей +6, которые складываются с +5, вам пришлось бы выполнить следующие дополнительные шаги:

x 2 + 5 x + 6

x 2 + 3 x + 2 x + 6

( x 2 + 3 x ) + (2 x + 6)

x ( x + 3) + 2 ( x + 3)

( x + 3) ( x + 2)

Вы получите тот же ответ, что и я, но (я думаю) проще сразу перейти к заполнению скобок.

Главный член равен 1, так что это простой случай факторинга. Постоянный член — 6, который можно записать как произведение 2 и 3 или 1 и 6, как в предыдущем упражнении. Но на этот раз коэффициент по среднему члену другой. Вместо +5 у меня +7.

Знак у постоянного члена такой же, как и раньше (а именно «плюс»), поэтому мне все равно понадобятся множители «плюс». Но сумма (то есть среднесрочный коэффициент) другая; теперь это 7.В то время как 2 + 3 = 5 работали для предыдущего квадратичного, +2 и +3 не те числа, которые мне нужны в этом случае. С другой стороны, 1 + 6 = +7, поэтому я буду использовать +1 и +6 для факторизации. И я также сразу перейду от этого вывода к тому, чтобы записать свой окончательный ответ:

Опять же, помните, что порядок не имеет значения при умножении, поэтому приведенный выше ответ может быть одинаково правильно записан как «( x + 6) ( x + 1)».

Постоянный член (созданный умножением) равен +6, поэтому мои множители будут либо «плюс», либо оба «минус». Но средний коэффициент на этот раз «минус». Поскольку я добавляю к «минусу» (а именно к –5), то оба множителя должны быть «минусом».

Когда коэффициент среднего члена был «плюс» пять, я использовал множители +2 и +3. Теперь, когда коэффициент моего среднего члена равен «минус», я буду использовать –2 и –3:

.

Обратите внимание, что мы можем использовать подсказки по знакам, чтобы определить, какие пары факторов использовать, как я продемонстрировал в предыдущих упражнениях.Формально правила выглядят так:

  • Если c равно «плюс», то оба множителя будут либо «плюс», либо оба «минус».
    • Если b равно «плюс», то оба множителя равны «плюс».
    • Если b равно «минус», то оба множителя равны «минус».
  • В любом случае ищите множители, которые добавляют к b.
  • Если c равно «минус», то множители будут иметь чередующиеся знаки; то есть один будет «плюс», а другой — «минус».
    • Если b равно «плюс», то больший из двух множителей равен «плюс».
    • Если b равно «минус», то больший из двух множителей равен «минус».
  • В любом случае ищите множители, которые вычитают до b; то есть коэффициенты, которые составляют b единиц , кроме .

Старший коэффициент равен 1, так что это квадратичный коэффициент простого разложения.Я умножаю на «плюс» шесть, поэтому оба множителя будут либо «плюс», либо оба «минус». Глядя на средний член, я вижу, что добавляю к «минусу» семь, поэтому оба моих множителя будут «минус».

(Отрицательные) множители +6, которые в сумме дают 7, — это –1 и –6, поэтому я буду использовать –1 и –6 для моей факторизации:

До сих пор c (постоянный член) всегда был плюсом. Что, если c — «минус»?

Поскольку я умножаю на «минус» шесть, мне нужны множители с противоположными знаками; то есть один множитель будет «плюс», а другой — «минус».Коэффициент при среднем члене равен «плюс» 1, поэтому я знаю, что больший из двух факторов (больший, то есть по абсолютной величине) получит знак «плюс». Поскольку эти числа с противоположными знаками будут сложены вместе, чтобы получить +1, мне нужно, чтобы эти два множителя были на одну единицу.

Пары факторов для 6 — это 1 и 6, а также 2 и 3. Значения во второй паре разнесены на одну единицу, поэтому я знаю, что буду использовать 2 и 3.

Поскольку мне нужно получить ответ «плюс» на сумму двух факторов, мне понадобится большее из двух моих чисел, чтобы получить знак «плюс»; а именно, 3 получит знак «плюс» (поэтому 2 получит знак «минус»).Тогда моя факторизация:

Это похоже на предыдущий квадратичный, за исключением того, что теперь средний член — «минус». Постоянным членом по-прежнему является «минус», поэтому мне по-прежнему нужны множители с противоположными знаками. А коэффициент среднего члена (кроме его знака) по-прежнему равен 1, поэтому мне все еще нужны факторы, которые разделены на одну единицу. Но на этот раз больший множитель получит знак «минус».

Все остальные соображения остаются прежними.Я по-прежнему хочу, чтобы множители 6 были разделены на одну единицу, поэтому я по-прежнему буду использовать 2 и 3. Но на этот раз знак 3 будет «минусом»:

В этом квадратичном постоянный член — «минус», поэтому мне все еще нужны множители противоположных знаков.

Однако на этот раз коэффициент среднего члена (кроме его знака) равен 5, а не 1, поэтому теперь я хочу, чтобы мои два фактора были разделены на пять единиц.И поскольку коэффициент среднего члена равен «минус», больший из двух моих факторов получит знак «минус».

Пары множителей для шести — это 1 и 6, а также 2 и 3. Числа в первой паре множителей разделены на пять, поэтому я буду использовать числа 1 и 6. Я добавляю к «минусу», поэтому я дам большему из моих множителей знак «минус»; то есть, я буду использовать +1 и –6 для этой факторизации:

Кстати, есть один частный случай факторинга квадратиков.Раньше, когда вы разлагали простые старые числа на множители, были некоторые числа, которые не учитывались, например 5 или 13. Вспомните, что эти невычисляемые числа называются «простыми» числами. Вы всегда можете умножить два целых числа, чтобы получить другое целое число, но некоторые целые числа нельзя разделить, чтобы получить два (нетривиальных) целых числа.

Точно так же есть квадраты, которые не учитываются. Вы можете перемножить два бинома (без дробей), чтобы получить квадратичный (без дробей), но не все квадратичные числа можно разложить на множители, чтобы получить два (нетривиальных) бинома.Терминология для таких квадратичных (или любого не факторизуемого многочлена) также является «простой».

Старший коэффициент равен 1, так что это случай простого факторинга. Поскольку постоянным членом является «минус», мне понадобится множитель «плюс» и «минус», так что, когда я умножаю их вместе, я получаю –6, но когда я их складываю, я получаю +7. Другими словами, мне понадобятся два множителя, разделенных на семь единиц, причем больший множитель получит знак «плюс».

Пары факторов для 6 — это 1 и 6, а также 2 и 3. На первый взгляд, я могу предположить, что мне следует использовать 1 и 6, но —

Один из множителей должен быть «минус», чтобы умножить и получить «минус» шесть! Попробовав первую пару факторов из 1 и 6, сумма будет одной из следующих:

(–1) + 6 = 5

1 + (–6) = –5

Хорошо; ни один способ не работал.Так что, может быть, мне стоит использовать другую пару факторов …? Проверяя сложение с этими числами, я получаю:

(–2) + 3 = 1

2 + (–3) = –1

Кто-то может подумать: «Может, мне стоит по-другому делать знаки». Но единственный способ получить множители шести в сумме до семи — это дать этим множителям один и тот же знак. Но если я это сделаю, то множители не умножатся на «минус» шесть.

Другими словами, не существует пары множителей –6, которые добавляли бы к +7. А если что-то нереализуемо, то самое главное. Итак, x 2 + 7 x -6 — простой квадратичный многочлен. С технической точки зрения, это «невозможно произвести по целым числам», так называемое, потому что я не смог найти пару целых чисел, которая бы работала. Тогда мой ответ:

URL: https: // www.purplemath.com/modules/factquad.htm

Факторинг

Чтобы разложить на множители разницу между двумя квадратами, (1) найдите квадратный корень из первого члена и квадратный корень из второго члена и (2) выразите свой ответ как произведение суммы величин из шага 1. умноженная на разницу этих количеств.

Коэффициент

.

Чтобы разложить на множители многочлены, имеющие три члена вида ax 2 + bx + c, (1) проверьте, можете ли вы разложить множители на множители (вычленить общие члены).Затем, если a = 1 (то есть первый член просто x 2 ), используйте двойные круглые скобки и разложите первый член на множители. Поместите эти множители в скобки слева. Например,

( x ) ( x )

(2) Разложите последний член на множители и поместите множители в правые части круглых скобок.

Чтобы определиться со знаками чисел, сделайте следующее. Если знак последнего члена отрицательный, (1) найдите два числа (одно будет положительным числом, а другое — отрицательным числом), произведение которых является последним членом, а разность составляет , коэффициент (число перед) среднего члена и (2) дают большему из этих двух чисел знак среднего члена и напротив знака для другого множителя.

Если знак последнего члена положительный, (1) найдите два числа (оба будут положительными или оба будут отрицательными), произведение которых является последним членом, а сумма которых является коэффициентом среднего члена и (2) дайте обоим факторам знак среднего члена.

Пример 3

Фактор x 2 — 3 x — 10.

Сначала проверьте, можете ли вы мономиально множить (вычленить общие термины). Поскольку это невозможно, используйте двойные скобки и разложите первый член на множители следующим образом: ( x ) ( x ).Затем разложите последний член, 10, на 2 раза по 5 (5 должно принимать отрицательный знак, а 2 должно принимать положительный знак, потому что тогда они будут суммировать коэффициент среднего члена, который равен –3) и сложите соответствующие знаки, выход

( x -5) ( x + 2)

Умножение означает (внутренние члены) и крайние значения (внешние члены) для проверки.

Чтобы полностью проверить, умножьте множители вместе.

Пример 4
Фактор

x 2 + 8 x + 15.

( x + 3) ( x + 5)

Обратите внимание, что 3 × 5 = 15 и 3 + 5 = 8, коэффициент среднего члена. Также обратите внимание, что знаки обоих факторов — это +, знак среднего члена. Проверить,

Пример 5
Коэффициент

x 2 — 5 x — 14.

( x -7) ( x + 2)

Обратите внимание, что 7 × 2 = 14 и 7-2 = 5, коэффициент среднего члена. Также обратите внимание, что знак большего множителя 7 — -, а у другого множителя 2 — знак +.Проверить,

Если, однако, a ≠ 1 (то есть первый член имеет коэффициент, например, 4 x 2 +5 x + 1), тогда потребуется дополнительный метод проб и ошибок.

Пример 6

Фактор 4 x 2 +5 x + 1.

(2 x +) (2 x +) может работать для первого семестра. Но когда единицы используются в качестве множителей для получения последнего члена (2 x + 1) (2 x + 1), средний член получается как 4 x вместо 5 x .

Поэтому попробуйте (4 x +) ( x +). Теперь использование единиц в качестве множителей для получения последних членов дает (4 x + 1) ( x + 1). Проверка на средний срок,

Следовательно, 4 x 2 + 5 x + 1 = (4 x + 1) ( x + 1).

Пример 7

Фактор 4 a 2 + 6 a + 2.

Вынос 2 листа

2 (2 а 2 + 3 а + 1)

Теперь множим как обычно, давая

2 (2 a + 1) ( a + 1)

Проверить,

Пример 8

Фактор 5 x 3 + 6 x 2 + x .

Разложение листа x

x (5 x 2 + 6 x + 1)

Теперь множим как обычно, давая

x (5 x + 1) ( x + 1)

Проверить,

Пример 9

Фактор 5 + 7 b + 2 b 2 (небольшой поворот).

(5 + 2 b ) (1 + b )

Проверить,

Обратите внимание, что (5 + b ) (1 + 2 b ) неверно, поскольку дает неправильный средний член.

Пример 10

Фактор x 2 + 2 xy + y 2 .

( x + y ) ( x + y )

Проверить,

Пример 11

Фактор 3 x 2 — 48.

Вынос 3 листа

3 ( x 2 -16)

Но x 2 — 16 — это разница между двумя квадратами и может быть дополнительно разложена на ( x + 4) ( x -4).Следовательно, при полном разложении 3 x 2 — 48 = 3 ( x + 4) ( x — 4).

Факторинг по группировке

Некоторые полиномы имеют биномиальные, трехчленные и другие полиномиальные множители.

Пример 12

Фактор x + 2 + xy + 2 y .

Поскольку мономиального множителя нет, вам следует попытаться переставить члены и поискать биномиальные множители.

x + 2 + xy + 2 y = x + xy + 2 + 2 y

Группировка дает

( x + xy ) + (2 + 2 y )

Теперь факторинг дает

x (1 + y ) + 2 (1 + y )

Использование распределительного свойства дает

( x + 2) (1 + y )

Вы можете переставить их по-другому, но все равно получите тот же факторинг.

Краткое изложение методов факторинга

Факторизуя многочлены, вы должны искать факторизацию в следующем порядке.

  1. Найдите наибольший общий фактор, если он существует.

  2. Если есть два члена, ищите разницу в квадратных числах.

  3. Если есть три члена, найдите образец, который применим к ax 2 + bx + c .

  4. Если имеется четыре или более термина, поищите какой-либо тип перегруппировки, который приведет к другому факторингу.

Примечание: Существуют многочлены, которые не могут быть факторизованы.

Пример 13

Фактор 2 x 2 + 3 x + 5.

  1. У этого многочлена нет общего множителя.

  2. Этот многочлен не является разностью квадратных чисел.

  3. Не существует комбинации (_ x ) (_ x ), дающей 2 x 2 + 3 x + 5.

  4. Так как терминов всего три, перегруппировка невозможна.

Следовательно, этот многочлен не факторизуем.

Алгебра — разложение многочленов

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, разговариваете по мобильному телефону). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-5: Факторинг многочленов

Из всех тем, затронутых в этой главе, разложение на множители многочленов, вероятно, является наиболее важной.В последующих главах есть много разделов, в которых первым шагом будет факторизация многочлена. Итак, если вы не можете разложить многочлен на множители, вы не сможете даже начать задачу, не говоря уже о ее завершении.

Давайте начнем с того, что немного поговорим о том, что такое факторинг. Факторинг — это процесс, с помощью которого мы определяем, на что мы умножили, чтобы получить заданное количество. Мы все время делаем это с числами. Например, вот несколько способов множителя 12.

\ [\ begin {align *} 12 & = \ left (2 \ right) \ left (6 \ right) & \ hspace {0.5 дюймов} 12 & = \ left (3 \ right) \ left (4 \ right) & \ hspace {0,25 дюйма} 12 & = \ left (2 \ right) \ left (2 \ right) \ left (3 \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \\ 12 & = \ left ({\ frac {1}} \ right) \ left ({24} \ right) & \ hspace {0,5 дюйма} 12 & = \ left ({ — 2} \ right) \ left ({- 6} \ right) & \ hspace {0,5 дюйма} 12 & = \ left ({- 2} \ right) \ left (2 \ right) \ left ({- 3} \ вправо) \ end {align *} \]

Есть еще много возможных способов множителя 12, но они репрезентативны для многих из них.

Общий метод разложения чисел на множители состоит в том, чтобы полностью разложить числа на положительные простые множители. Простое число — это число, единственные положительные делители которого равны 1 и самому себе. Например, 2, 3, 5 и 7 являются примерами простых чисел. Примеры непростых чисел: 4, 6 и 12, чтобы выбрать несколько.

Если мы полностью разложим число на положительные простые множители, будет только один способ сделать это. Это причина такого факторинга.Для нашего примера выше с 12 полная факторизация:

\ [12 = \ влево (2 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) \ влево (3 \ вправо) \]

Факторинг многочленов выполняется примерно таким же образом. Мы определяем все члены, которые были перемножены, чтобы получить заданный многочлен. Затем мы пытаемся разложить на множители каждый из терминов, найденных на первом этапе. Это продолжается до тех пор, пока мы больше не сможем принимать во внимание факторы. Когда мы больше не сможем разложить на множители, мы скажем, что полином полностью разложен на множители.2} + 4} \ right) \ left ({x + 2} \ right) \ left ({x — 2} \ right) \]

Цель этого раздела — познакомиться со многими методами разложения многочленов на множители.

Наибольший общий фактор

Первый метод разложения полиномов на множители — это разложение на множители наибольшего общего множителя . При факторинге в целом это также будет первое, что мы должны попробовать, поскольку это часто упрощает проблему.

Чтобы использовать этот метод, все, что мы делаем, — это просматриваем все термины и определяем, есть ли фактор, общий для всех терминов.Если есть, мы вычленим его из полинома. Также обратите внимание, что в этом случае мы действительно используем только закон распределения в обратном порядке. Помните, что согласно закону о дистрибьюции

\ [a \ left ({b + c} \ right) = ab + ac \]

Выделяя наибольший общий фактор, мы делаем это в обратном порядке. Мы замечаем, что в каждом члене есть \ (a \), и поэтому мы «факторизуем» его, используя закон распределения в обратном порядке:

\ [ab + ac = a \ left ({b + c} \ right) \]

Давайте рассмотрим несколько примеров.5} — 3x + 1} \ right) \]

Обратите внимание на «+1», где 3 \ (x \) изначально было в последнем члене, поскольку последний член был термином, который мы вычленили, нам нужно было напомнить себе, что изначально там был термин. Для этого нам понадобится «+1» и обратите внимание, что это «+1» вместо «-1», потому что термин изначально был положительным. Если бы изначально это был отрицательный термин, нам пришлось бы использовать «-1».

Одна из наиболее распространенных ошибок, связанных с этим типом задач факторинга, — это забыть об этой «1».2} + 6 \) Показать решение

У этого термина также есть «-» перед третьим членом, как мы видели в предыдущей части. Однако на этот раз перед четвертым членом стоит знак «+», в отличие от последней части. Мы по-прежнему будем вычеркивать «-» при группировании, чтобы убедиться, что мы не теряем его из виду. Когда мы выносим за скобки «-», обратите внимание, что нам нужно заменить «+» в четвертом члене на «-». Опять же, вы всегда можете проверить, что это было сделано правильно, умножив «-» на круглые скобки.3} — 2} \ right) \]

Факторинг по группировке может быть приятным, но срабатывает не так уж часто. Обратите внимание, что, как мы видели в последних двух частях этого примера, если перед третьим членом стоит «-», мы часто также вычленяем его из третьего и четвертого терминов, когда мы их группируем.

Разложение квадратичных многочленов на множители

Во-первых, отметим, что квадратичный — это еще один термин, обозначающий многочлен второй степени. Итак, мы знаем, что наибольший показатель квадратичного многочлена будет равен 2.{2} \), и единственный способ добиться этого — это умножить \ (x \) на \ (x \). Следовательно, первым членом каждого множителя должен быть \ (x \). Чтобы закончить это, нам просто нужно определить два числа, которые должны стоять на пустых местах.

Мы можем значительно сузить возможности. После умножения двух множителей эти два числа нужно будет умножить, чтобы получить -15. Другими словами, эти два числа должны быть множителями -15. Вот все возможные способы множителя -15, используя только целые числа.

\ [\ left ({- 1} \ right) \ left ({15} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ left (1 \ right) \ left ({- 15} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({- 3} \ right) \ left (5 \ right) \ hspace {0.25in} \ left (3 \ right) \ left ({- 5} \ right) \]

Теперь мы можем просто вставить их одну за другой и умножать, пока не получим правильную пару. Однако есть еще одна хитрость, которую мы можем использовать здесь, чтобы помочь нам. Чтобы получить коэффициент при члене \ (x \), необходимо сложить правильную пару чисел.2} \) означает умножение 3 \ (x \) и \ (x \), это должны быть первые два члена. Однако найти числа для двух пробелов будет не так просто, как в предыдущих примерах. Нам нужно будет начать со всеми множителями -8.

\ [\ left ({- 1} \ right) \ left (8 \ right) \ hspace {0,5 дюйма} \ left (1 \ right) \ left ({- 8} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({- 2} \ right) \ left (4 \ right) \ hspace {0.25in} \ left (2 \ right) \ left ({- 4} \ right) \]

На данный момент единственный вариант — выбрать пару, подключить их и посмотреть, что произойдет, когда мы умножим члены.2} — 10x — 8 \]

Ну, первый и последний термины верны, но тогда они должны быть правильными, поскольку мы выбрали числа, чтобы убедиться, что они работают правильно. Однако, поскольку средний член неверен, это неправильное разложение многочлена на множители.

Однако это не означает, что мы ошиблись. В предыдущих частях этого примера не имело значения, какой пробел получил какой номер. На этот раз так и есть. Давайте изменим порядок и посмотрим, что у нас получится. 2} + 2x — 8 \]

Итак, мы получили.2} — 17x + 6 = \ left ({5x + \ underline {\, \, \, \,}} \ right) \ left ({x + \ underline {\, \, \, \,}} \ right ) \]

Далее нам нужны все множители 6. Вот они.

\ [\ left (1 \ right) \ left (6 \ right) \ hspace {0,5 дюйма} \ left ({- 1} \ right) \ left ({- 6} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ left (2 \ right) \ left (3 \ right) \ hspace {0,5 дюйма} \ left ({- 2} \ right) \ left ({- 3} \ right) \]

Не забывайте о негативных факторах. Часто именно они нам и нужны. Фактически, заметив, что коэффициент при \ (x \) отрицателен, мы можем быть уверены, что нам понадобится одна из двух пар отрицательных факторов, поскольку это будет единственный способ получить там отрицательный коэффициент.2} + 10x — 6 & = \ left ({2x + \ underline {\, \, \, \,}} \ right) \ left ({2x + \ underline {\, \, \, \,}} \ вправо) \ end {align *} \]

Чтобы заполнить пробелы, нам понадобятся все множители -6. 2} + 10x — 6 = \ left ({2x — 1} \ right) \ left ({2x + 6} \ right) \]

Также обратите внимание, что на этапе проб и ошибок мы должны убедиться и включить каждую пару в обе возможные формы и в оба возможных порядка, чтобы правильно определить, является ли это правильной парой факторов или нет.2} \]

Это просто неверно для подавляющего большинства сумм квадратов, поэтому будьте осторожны, чтобы не совершить эту очень распространенную ошибку. Есть редкие случаи, когда это можно сделать, но ни один из этих особых случаев здесь не рассматривается.

Факторинговые многочлены со степенью больше 2

В общем, нет единого метода для этого. Однако есть некоторые, что мы можем сделать, поэтому давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 5 Разложите на множители по каждому из следующих факторов.2} + 5} \ вправо) \]

Обратите внимание, что это преобразование в \ (u \) вначале может быть полезно в некоторых случаях, однако, как только вы к этому привыкнете, это обычно происходит в наших головах.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *